Lý Thuyết Toán 10 Phương Trình Đường Thẳng

Ở chương trình Toán lớp 10 các em sẽ được tiếp xúc với các lý thuyết và dạng toán về phương trình đường thẳng. Đây là nền tảng kiến thức liên quan mật thiết đến hình học không gian ở các lớp sau, do đó các em cần nắm thật vững những kiến thức này. Trong bài viết này, TheTips sẽ tổng hợp các lý thuyết Toán 10 phương trình đường thẳng nhằm giúp các em hệ thống hóa được kiến thức và nhớ bài dễ dàng hơn.

Vectơ của đường thẳng

Vectơ chỉ phương

begin{aligned}
&footnotesizetext{Vectơ } vec{u}text{ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng ∆ nếu:}\
&footnotesize   bull vec{u} not= vec{0}\
&footnotesize   bull text{Giá của } vec{u} text{ song song hoặc trùng với ∆}
end{aligned}

Chú ý: Một đường thẳng sẽ có vô số vectơ chỉ phương.

Vectơ pháp tuyến

begin{aligned}
&footnotesizetext{Vectơ } vec{n}text{ được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng ∆ nếu:}\
&footnotesize   bull vec{n} not= vec{0}\
&footnotesize   bull vec{n} text{ vuông góc với VTCP của ∆}
end{aligned}

Chú ý:

begin{aligned}
&footnotesize bull text{Một đường thẳng sẽ có vô số vectơ pháp tuyến.}\
&footnotesize bull text{Nếu }vec{n} text{ là một VTPT của đường thẳng ∆ thì } kvec{n} text{ cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆.}\
&footnotesizebull text{Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một vectơ pháp tuyến của nó và}\
&footnotesize  text{một điểm mà đường thẳng đó đi qua.}
end{aligned}

Các dạng phương trình đường thẳng

Dưới đây là tổng hợp các dạng phương trình đường thẳng Toán 10.

Phương trình tham số của đường thẳng

Xét đường thẳng ∆ đi qua điểm xác định M₀(x₀; y₀) với VTCP:

vec{u}=(u_1;u_2)

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

begin{cases}
x=x_0+tu_1\
y=y_0+tu_2
end{cases}

Với một tham số t cụ thể, ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆.

Mối liên hệ giữa VTPT và hệ số góc:

begin{aligned}
&footnotesizetext{Tỉ số }k=frac{u_2}{u_1} text{ được gọi là hệ số góc của đường thẳng ∆ }(u_1not= 0), text{k = tanα, với α là góc hợp bởi đường thẳng ∆ }\
&footnotesizetext{và chiều dương của trục Ox.}
end{aligned}

Phương trình đường thẳng đi qua M_o(x_o; y_o), có hệ số góc là k:

y – y₀ = k(x – x₀)

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

ax + by + c = 0 (a≠0 hoặc b≠0)

Nhận xét:

begin{aligned}
&footnotesizebull text{Nếu }a=0Rightarrow y=-frac{c}{b} ; Delta//Ox text{ hoặc trùng Ox (khi c = 0)}\
&footnotesizebull text{Nếu }b=0Rightarrow x=-frac{c}{a} ; Delta//Oy text{ hoặc trùng Oy (khi c = 0)}\
&footnotesizebull text{Nếu }c=0Rightarrow ax+by=0 RightarrowDelta text{ đi qua gốc tọa độ}
end{aligned}

Phương trình đoạn chắn của đường thẳng

Một đường thẳng cắt trục Ox và Oy tại 2 điểm lần lượt là A(a;0), B(0;b) có phương trình đoạn chắn như sau:

frac{x}{a}+frac{y}{b}=1 (a,bnot=0)

Phương trình chính tắc của đường thẳng

footnotesize text{Đường thẳng ∆ có VTCP }vec{u}=(u_1;u_2), text{ đi qua điểm }M_0(x_0;y_0) text{ có phương trình chính tắc là:}\
normalsize frac{x-x_0}{u_1}=frac{y-y_0}{u_2} text{ với }u_1,u_2not=0

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét 2 đường thẳng:

∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0

∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

M₀(x₀;y₀) là điểm chung của ∆₁ và ∆₂ khi và chỉ khi (x₀;y₀) là nghiệm của hệ phương trình sau:

(1)begin{cases}a_1x+b_1y+c=0\a_2x+b_2y+c=0
 end{cases}

Khi đó, sẽ có 3 trường hợp xảy ra:

• Hệ (1) có một nghiệm: ∆₁ cắt ∆₂
• Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁ // ∆₂
• Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆₁ ≡ ∆₂

Góc giữa hai đường thẳng

Đây là một trong những kiến thức quan trọng trong Toán 10 phương trình đường thẳng mà các em cần lưu tâm.

Xét 2 đường thẳng ∆₁ và ∆₂:

• 2 đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 4 góc, khi đó:
  • Nếu ∆₁ vuông góc với ∆₂ → góc giữa 2 đường thẳng = 90⁰.
  • Nếu ∆₁ và ∆₂ không vuông góc với nhau → góc giữa 2 đường thẳng là góc nhọn trong số 4 góc được tạo thành.
• Nếu ∆₁ và ∆ ₂ song song hoặc trùng nhau → góc giữa 2 đường thẳng này = 0⁰.

begin{aligned}
&text{Góc giữa 2 đường thẳng ∆1 và ∆2 kí hiệu là }(widehat{Delta_1,Delta_2}) text{ và được xác định theo công thức:}\
&∆_1: a_1x+b_1y+c_1=0\
&∆_2: a_2x+b_2y+c_2=0\
&text{Đặt }varphi=(widehat{Delta_1,Delta_2})\
&cosvarphi=frac{|a_1.a_2+b_1.b_2|}{sqrt{a_1^2+b_1^2}sqrt{a_2^2+b_2^2}}
end{aligned}

Chú ý:

• ∆₁ ⊥ ∆₂ ⇔ n₁ ⊥ n₂ ⇔ a₁.a₂ + b₁.b₂ = 0
• Nếu ∆₁ và ∆₂ có phương trình y = k₁x + m₁ và y = k₂x + m₂ thì ∆₁ ⊥ ∆₂ ⇔ k₁.k₂ = -1

Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Cho một điểm M₀(x₀;y₀) và đường thẳng ∆ bất kỳ có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến ∆ được xác định theo công thức sau:

d(M_0,Delta)=frac{|ax_0+by_0+c|}{sqrt{a^2+b^2}}

Nguồn: Toán 10 Phương Trình Đường Thẳng – Marathon Education