Lý thuyết cực trị của hàm số và những điểm cần lưu ý

Cực trị của hàm số là một phần kiến thức rất quan trọng thuộc chuyên đề hàm số của chương trình toán 12 và xuất hiện hầu hết trong các đề thi THPT. Bài viết hôm nay sẽ hệ thống hóa lý thuyết cực trị của hàm số và những điểm mà các em cần lưu ý.

Khái niệm cực trị của hàm số

Theo khái niệm cơ bản, cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số đó có thể đạt được.

Định nghĩa trong toán học:

Cho hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K, ta có:

• x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 mà tại đó f(x) f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
• x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 mà tại đó f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0} => f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. 

Các điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0. Tuy nhiên, điều ngược lại có thể không đúng, đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.

Hàm số có thể đạt cực trị tại 1 điểm mà ở đó, hàm số không có đạo hàm.

Định lý 2

Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Định lý 3

Xét hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0. Ta có các trường hợp sau:

• Nếu f’’(x0)
• Nếu f’’(x0) > 0: hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
• Nếu f’’(x0) = 0: chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết cực trị của hàm số mà các em cần nắm chắc trước khi giải các dạng bài tập. Với những nội dung và lưu ý trên, hy vọng các em có thể áp dụng vào quá trình luyện đề chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng sắp tới. Chúc các em ôn tập tốt!

Nguồn tham khảo: thiquocgia.vn