-
Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần đại số giải tích lớp 12 và ôn thi đại học. Để giúp các em thống kê kiến thức và ôn tập hiệu quả, TheTips đã tổng hợp những lý thuyết cơ bản cùng một số bài tập ví dụ cụ thể trong bài viết dưới đây. Hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé!
Lý thuyết toán 12 nguyên hàm
Lý thuyết toán 12 nguyên hàm (Nguồn: Internet) Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để các em nắm rõ bản chất, từ đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài tập.
Định nghĩa nguyên hàm
- Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
- Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
Định lý nguyên hàm
Nguyên hàm có 2 định lý cơ bản mà các em cần nhớ là:
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C.
Tính chất nguyên hàm
3 tính chất phổ biến của nguyên hàm Toán 12:
- Tính chất 1:
(smallint{f(x)dx})'=f(x) footnotesize{text{và}} smallint{f'(x)dx}=f(x)+C- Tính chất 2:
smallint{kf(x)dx}=ksmallint{f(x)dx} footnotesize{text{với k là hằng số khác 0}}- Tính chất 3:
smallint{[f(x)pm g(x)]}dx = smallint{f(x)dx}pm smallint{g(x)dx}Một số bài tập ví dụ toán 12 nguyên hàm
Đây là phần bài tập ứng dụng cho phần lý thuyết phía trên, các em tham khảo để hiểu rõ hơn về phần kiến thức Toán 12 nguyên hàm.
Bài 2 trang 126 SGK Toán đại số 12
Đề bài:
a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]
b. Tính chất của tích phân là gì? Nêu ví dụ cụ thể.
Hướng dẫn giải bài tập:
a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]
Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Tính chất của tích phân:
begin{aligned} &int^a_bf(x)dx=0\ &int^b_af(x)dx=-int^a_bf(x)dx\ &int^b_akf(x)dx=kint^b_af(x)dx\ &int^b_a{[f(x)pm g(x)]}dx = int^b_a{f(x)dx}pm int^b_a{g(x)dx}\ &int^b_af(x)dx=int^c_af(x)dx+int^b_cf(x)dx end{aligned}Bài 3 trang 126 SGK toán đại 12
Đề bài:
Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:
begin{aligned} &a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\ &b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\ &c. f(x)=frac{1}{1-x^2}\ &d. f(x)=(e^x-1)^3 end{aligned}Hướng dẫn giải bài tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Suy ra
begin{aligned} smallint(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&small=int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\ &small =frac{3}{2}x^4-frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C end{aligned}b. Ta có:
begin{aligned} small sin(4x).cos^2(2x)&=frac{1}{2}sin4x.cos4x+frac{1}{2}sin4x\&=frac{1}{8}sin8x+frac{1}{2}sin4x end{aligned}Suy ra:
small int(frac{1}{8}sin8x+frac{1}{2}sin4x)dx=-frac{cos8x}{32}-frac{cos4x}{8}+Cc. Ta có:
begin{aligned} small f(x)&=small frac{1}{1-x^2}\ &=small frac{1}{(1-x)(1+x)}\ &=small frac{1}{2}.frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\ &=small frac{1}{2}.frac{1}{1-x}+frac{1}{2}.frac{1}{1+x} end{aligned}Suy ra:
begin{aligned} int f(x)dx&=frac{1}{2}.frac{1}{1-x}+frac{1}{2}.frac{1}{1+x} \ &=frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\ &=frac{1}{2}lnbig|(1+x)(1-x)big|+C end{aligned}d. Với bài tập này, các em có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc các em còn có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm như sau:
Đặt t=e^x implies dt=e^x.dx=t.dx implies frac{dt}{t}=dxTa có:
begin{aligned} int f(x)dx&=int(e^x-1)^3dx\ &=int frac{(t-1)^3}{t}dt\ &=int left(t^2-3t+3-frac{1}{t}right)dt\ &=frac{1}{3}t^3-frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\ &=frac{1}{3}e^{3x}-frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\ &=frac{1}{3}e^{3x}-frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\ &(Với C' = C-1) end{aligned}Bài 4 trang 126 SGK toán đại 12
Đề bài:
Tính một số nguyên hàm sau:
begin{aligned} &a)int(2-x).sinxdx\ &b) intfrac{(x+1)^2}{sqrt{x}}dx\ &c) intfrac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\ &d)intfrac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\ &e)intfrac{1}{sqrt{1+x}+sqrt{x}}dx\ &f)intfrac{1}{(1+x)(2-x)dx} end{aligned}Hướng dẫn giải bài tập:
begin{aligned} &text{a) Đặt} begin{cases}u=2-x\dv=sinxdxend{cases} implies begin{cases}du=-dx\v=-cosxend{cases}\ &text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\ &int(2-x)sinxdx\ &=(2-x)(-cosx)-int cosxdx\ &=(x-2)cosx-sinx +C\ &b) intfrac{(x+1)^2}{sqrt{x}}dx\ &=intfrac{(x^2+2x+1}{sqrt{x}}dx\ &=int (x^frac{3}{2}+2x^frac{1}{2}+x^frac{-1}{2})dx\ &=frac{2}{5}x^frac{5}{2}+2.frac{2}{3}x^frac{3}{2}+2.x^frac{1}{2}+C\ &=sqrt{x}(frac{2}{5}x^2+frac{4}{3}x+2)+C\ &c)intfrac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\ &=intfrac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\ &=int (e^{2x}-e^x+1)dx\ &=frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\ &d)intfrac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\ &=intfrac{1}{[sqrt{2}.cos(x-frac{pi}{4})]^2}dx\ &=intfrac{1}{2.cos^2(x-frac{pi}{4})}dx\ &=frac{1}{2}.tan(x-frac{pi}{4})+C\ &e) intfrac{1}{sqrt{1+x} +sqrt{x}}dx\ &=intfrac{(x+1)-x}{sqrt{x+1} +sqrt{x}}dx\ &=intfrac{(sqrt{x+1} -sqrt{x})(sqrt{x+1} +sqrt{x})}{sqrt{x+1} +sqrt{x}}dx\ &=int(sqrt{x+1} -sqrt{x})dx\ &=frac{2}{3}(x+1)^frac{3}{2}-frac{2}{3}x^frac{3}{2} +C\ &=frac{2}{3}(x+1)sqrt{x+1}-frac{2}{3}xsqrt{x}+C\ &g)intfrac{1}{(1+x)(2-x)}dx\ &=intfrac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\ &=intfrac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+intfrac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\ &=frac{1}{3}intfrac{1}{2-x}dx+frac{1}{3}intfrac{1}{1+x}dx\ &=-frac{1}{3}ln|2-x|+frac{1}{3}ln|1+x|+C\ &=frac{1}{3}lnbig |frac{1+x}{2-x}big|+C end{aligned}Nguồn: Toán 12 Nguyên Hàm – Marathon Education
Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ
Toán 12 nguyên hàm là nội dung quan trọng trong phần đại số giải tích lớp 12 và ôn thi đại học. Để giúp các em thống kê kiến thức và ôn tập hiệu quả, TheTips đã tổng hợp những lý thuyết cơ bản cùng một số bài tập ví dụ cụ thể trong bài viết […]
Đã cập nhật 17 tháng 2 năm 2022
Bởi TopOnMedia
Tags:
Marathon
