Lý Thuyết Toán 10 Phương Trình Đường Tròn

Phương trình đường tròn là phần kiến thức căn bản ở chương trình Toán lớp 10. Lý thuyết xoay quanh Toán 10 phương trình đường tròn tương đối đơn giản, dễ học, dễ thuộc. Các em hãy cùng TheTips đọc ngay bài viết dưới đây để củng cố và tìm hiểu thêm một số thông tin liên quan đến phần kiến thức này.

Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Nếu cho một đường tròn có tâm I (a;b) và bán kính R, ta có thể viết được phương trình của đường tròn đó như sau:

(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

Nhận xét

Các em cũng có thể viết phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R² dưới dạng như sau:

x^2+y^2-2ax-2by+c=0

Trong đó, ta có c = a² + b² – R²

Ngược lại, ta cũng sẽ suy ra được phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 sẽ là phương trình đường tròn của (C) khi và chỉ khi a² + b² – c > 0. Từ đó, ta kết luận được rằng đường tròn (C) có tâm I (a;b) và bán kính R = a² + b² – c.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Trong chương trình Toán 10 phương trình đường tròn, các em cũng sẽ học về cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, cụ thể như sau:

begin{aligned}
&small bull text{Cho một điểm }M_0(x_0;y_0) text{ bất kì thuộc đường tròn (C) có tâm I (a;b). Ta gọi Δ là tiếp tuyến của}\
&small text{điểm }M_0 text{ với đường tròn (C).}\
&small bull  M_0 text{ thuộc Δ, đồng thời vectơ } overrightarrow{IM_0}=(x_0-a;y_0-b) text{ là vectơ pháp tuyến của Δ. Từ đây, ta sẽ}\
&small text{suy ra được phương trình của là:}  (x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0
end{aligned}

Theo đó, ta cũng kết luận được rằng phương trình vừa nêu trên là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R² tại điểm M₀ cho trước nằm trên đường tròn. 

Cách viết phương trình đường tròn

Ngoài ra, trong chương trình Toán 10 phương trình đường tròn, các em cũng sẽ được làm quen với những dạng bài toán viết phương trình đường tròn phổ biến như sau:

Tìm điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn

Điều đầu tiên và vô cùng quan trọng trước khi viết phương trình đường tròn đó là các em cần tìm các điều kiện cần và đủ để xác định phương trình là phương trình đường tròn. Các em có thể áp dụng 1 trong 2 cách làm sau: 

Cách 1: Chuyển đổi phương trình dữ kiện của đề bài thành dạng (x – a)² + (y – b)² = P (1)

• Trong trường hợp P lớn hơn 0 thì (1) chính là phương trình đường tròn tâm I (a;b) có bán kính là R = P.
• Ngược lại, nếu P 0 thì ta kết luận rằng (1) không phải là phương trình đường tròn. 

Cách 2: Biến đổi phương trình dữ kiện trở về dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (2). Ta đặt P = a² + b² – c.

• Nếu P > 0 thì ta sẽ suy ra được (2) là phương trình đường tròn tâm I (a;b) có bán kính là R = a² + b² – c
• Còn nếu P 0 thì chắc chắn (2) không phải là phương trình đường tròn. 

Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm

Có 2 phương pháp chính được đề cập trong chương trình Toán 10 phương trình đường tròn khi viết phương trình đường tròn đi qua các điểm.

Cách 1:

• Tiến hành xác định tọa độ của tâm I (a;b) thuộc đường tròn (C).
• Tìm được giá trị của bán kính R của đường tròn (C) bằng bao nhiêu.
• Viết phương trình đường tròn (C) dưới dạng: (x – a)² + (y – b)² = R².

Cách 2: Giả sử rằng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 chính là dạng tổng quát của phương trình đường tròn (C).

• Từ những dữ kiện mà bài toán đã cho, tiến hành thiết lập hệ phương trình gồm có ba ẩn cần tìm là a, b, c.
• Giải hệ phương trình nêu trên. Sau cùng, thay giá trị của a, b, c vừa tìm vào phương trình đường tròn (C).

Chú ý: Nếu cho 2 điểm A và B bất kỳ và đường tròn (C) đi qua 2 điểm này thì IA² = IB² = R². Công thức này cũng được áp dụng trong các trường hợp đề bài yêu cầu viết phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. 

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Nếu đề bài yêu cầu các em viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thì dựa vào tính chất tiếp tuyến, cách giải cụ thể sẽ như sau:

• Nếu đường tròn (C) có sự tiếp xúc với đường thẳng (Δ) thì d(I,Δ) = R.
• Trong trường hợp (C) có sự tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại một điểm A thì d(I,Δ) = IA = R.
• Đối với trường hợp (C) có sự tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ₁) và (Δ₂) thì d(I,Δ₁) = R = d(I,Δ₂).

Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Chương trình Toán 10 phương trình đường tròn cũng trình bày chi tiết cách viết phương trình đường tròn nội tiếp, cụ thể ta sẽ có 2 cách như sau:

Cách 1: 

• Xác định bán kính của đường tròn r = S÷P bằng cách tính diện tích S và nửa chu vi P của tam giác.
• Gọi I (a;b) là tâm của đường tròn nội tiếp thì ta sẽ xác định được khoảng cách từ điểm I tới ba cạnh của tam giác sẽ bằng nhau và đều bằng r. Theo đó, ta sẽ lập được phương trình 2 ẩn a và b.
• Tiến hành giải hệ phương trình vừa lập, ta sẽ tìm được giá trị của a, b và viết được phương trình đường tròn.

Cách 2:

• Viết phương trình đường phân giác trong của 2 góc ở trong tam giác. 
• Tâm I của đường tròn sẽ là giao điểm của 2 đường phân giác nói trên.
• Để xác định được R, ta tiến hành tính khoảng cách từ tâm I đến một cạnh bất kỳ của tam giác. 
• Dựa trên các giá trị vừa tìm được, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác.

Nguồn: Toán 10 Phương Trình Đường Tròn – Marathon Education