Nguyên Hàm Từng Phần – Công Thức Và Phương Pháp Giải

Nguyên hàm từng phần được biết đến là một trong những phương pháp để giải các bài toán nguyên hàm nâng cao. Đây cũng là một phương pháp khá phức tạp nên trong quá trình áp dụng, các em rất dễ nhầm lẫn. Trong bài viết này, TheTips sẽ giúp các em hiểu chính xác về nguyên hàm từng phần, các dạng toán thường gặp và phương pháp giải hiệu quả.

Công thức nguyên hàm từng phần

Với hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên tập K thì ta có công thức tổng quát của nguyên hàm từng phần như sau:

int udv=uv-int vdu

Khi sử dụng công thức nguyên hàm từng phần các em cần lưu ý:

• Thứ tự ưu tiên đặt u là “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Phần còn lại đặt là dv.
• Với những nguyên hàm có chứa lượng giác và mũ thì các em có thể đặt u và dv dựa theo thứ tự lượng giác và mũ hoặc ngược lại. Tuy nhiên, các em phải sử dụng 2 lần tích phân từng phần và thống nhất theo đúng thứ tự.
• Số lần thực hiện tích phân từng phần sẽ phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức. Cụ thể:

begin{aligned}
&footnotesizecirctext{Biểu thức nguyên hàm }log_a^nf(x), ln^nf(x)  text{thì phải tính n lần tích phân}\
&footnotesizetext{từng phần.}\
&footnotesizecirctext{Nếu biểu thức có chứa đa thức bậc n mà không chứa hàm logarit thì}\
&footnotesizetext{ các em cũng phải tính tích phân từng phần n lần.}
end{aligned}

Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp và phương pháp giải

Dạng 1: Hàm số logarit

Tính nguyên hàm của hàm số logarit:

I=int f(x)ln(ax+b)dx

Trong đó, f(x) là một hàm của đa thức

Phương pháp để giải dạng toán này được thực hiện qua các bước sau:

Bước 1: Tiến hành đặt:

begin{cases}u=ln(ax+b)\dv=f(x)dxend{cases}
implies begin{cases}du=frac{a}{ax+b}dx\v=int f(x)dxend{cases}

Bước 2: Sau khi đặt ở bước 1, ta có thể suy ra được:

I=uv-int vdu

Các em hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về dạng toán này:

Ví dụ: tính nguyên hàm của hàm số:

f(x)=x.lnx

Dựa theo phương pháp giải ở trên, các em sẽ thấy được:

F(x)=int f(x)dx = int x.lnx.dx

Các em tiến hành đặt biểu thức ở dạng:

begin{cases}u=lnx\dv=xdxend{cases}
implies begin{cases}du=frac{dx}{x}\v=frac{x^2}{2}end{cases}

Theo công thức nguyên hàm từng phần sẽ có được:

F(x)=frac{1}{2}x^2lnx-frac{1}{2}int xdx=frac{1}{2}x^2lnx-frac{1}{4}x^2+C

Dạng 2: Hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ:

A=int f(x).e^{ax+b}dx

Trong đó, f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp giải như sau:

Bước 1: Các em tiến hành đặt:

begin{cases}u=f(x)\dv=e^{ax+b}dxend{cases}
implies begin{cases}du=f'(x)dx\v=frac{1}{a}e^{ax+b}dxend{cases}

Bước 2: Sau khi đặt ở bước 1, ta có được:

int f(x)e^{ax+b}dx = uv-int vdu

Các em tiếp tục theo dõi ví dụ sau:

Ví dụ: Tính nguyên hàm của biểu thức:

I=int x.e^xdx

Cách giải:

Các em tiến hành đặt: 

begin{cases}u=x\dv=e^xdxend{cases}
implies begin{cases}du=dx\v=e^xend{cases}

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta sẽ có được:

begin{aligned}
I&=int xe^xdx\
&=xe^x-int e^xdx\
&=xe^x-int d(e^x)\
&=xe^x-e^x+C
end{aligned}

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác:

begin{aligned}
&A=int f(x)sin(ax+b)dx\
&text{Hoặc}\
&B=int f(x)cos(ax+b)dx
end{aligned}

Phương pháp giải:

Bước 1: Các em tiến hành đặt:

begin{aligned}
&begin{cases}u=f(x)\dv=sin(ax+b)dxend{cases}
implies begin{cases}du=f'(x)dx\v=-frac{1}{a}cos(ax+b)end{cases}\
&text{Hoặc}\
&begin{cases}u=f(x)\dv=cos(ax+b)dxend{cases}
implies begin{cases}du=f'(x)dx\v=frac{1}{a}sin(ax+b)end{cases}\
end{aligned}

Bước 2: Thực hiện biến đổi thành:

begin{aligned}
&int f(x)sin(ax+b)dx=uv-int vdu\
&text{Hoặc}\
&int f(x)cos(ax+b)dx=uv-int vdu\
end{aligned}

Các em có thể tham khảo ví dụ cụ thể sau để dễ hiểu hơn:

Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm lượng giác:

A=int x.sinx.dx

Dựa vào phương pháp giải ở trên, các em đặt:

begin{cases}u=x\dv=sinxdxend{cases}
implies begin{cases}du=dx\v=-cosxend{cases}\

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần, các em sẽ có được:

A=-xcosx+int cosxdx=-xcosx+sinx+C

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ:

begin{aligned}
&int e^{ax+b}sin(cx+d)dx\
&text{Hoặc}\
&int e^{ax+b}cos(cx+d)dx
end{aligned}

Phương pháp giải được thực hiện như sau:

• Bước 1: Các em tiến hành đặt:

begin{cases}u=sin(cx+d)\dv=e^{ax+b}dxend{cases}
text{Hoặc} begin{cases}u=cos(cx+d)\dv=e^{ax+b}dxend{cases}

• Bước 2: Dựa vào công thức tổng quát uv – ∫vdu để tính nguyên hàm.

Các em cũng cần lưu ý, ở dạng tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ này thì các em nên lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1, các em cũng có thể đặt theo cách sau:

begin{cases}u=e^{ax+b}\dv=sin(cx+d)dxend{cases}
text{Hoặc} begin{cases}u=e^{ax+b}\dv=cos(cx+d)dxend{cases}

Sau đây là một ví dụ để các em dễ hình dung hơn:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm từng phần của hàm lượng giác và hàm e mũ:

I=int sinx.e^xdx

Ta tiến hành đặt:

begin{cases}u=sinx\dv=e^xdxend{cases}
implies begin{cases}du=cosxdx\v=e^xend{cases}\

Lúc này, các em có thể suy ra được:

I=e^xsinx-int cosxe^xdx=e^xsinx-J

Và:

J=int cosx.e^xdx

Để tính J, các em cần phải lấy nguyên hàm từng phần lần 2 như sau:

Đặt:

begin{cases}u=cosx\dv=e^xdxend{cases}
implies begin{cases}du=-sinxdx\v=e^xend{cases}\

Ta có:

begin{alignat*}{2}
&J=e^xcosx+int sinx.e^xdx\
&=e^xcosx+I\
&footnotesizetext{Lúc này biểu thức nguyên hàm sẽ trở thành:}\
&=e^xsinx-J\
&=e^xsinx-(e^xcosx+I)\
&Leftrightarrow 2I=e^xsinx-e^xcosx\
&text{Vậy }I=frac{1}{2}(e^xsinx-e^xcosx)+C
end{alignat*}

Nguồn: Nguyên Hàm Từng Phần – Marathon Education