-
Nguyên hàm lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình toán cấp 3. Các công thức nguyên hàm lượng giác có nhiều mức độ, từ hàm sơ cấp cho đến các công thức hàm hợp, theo đó là rất nhiều dạng bài tập khác nhau. TheTips sẽ tổng hợp các công thức lượng giác cơ bản, công thức nguyên hàm lượng giác và các dạng bài tập vận dụng liên quan qua bài viết sau.
Các công thức lượng giác cần nhớ
begin{aligned} &smalltext{1. Hằng đẳng thức lượng giác:}\ & bull sin^2x+cos^2x=1\ & bull sfrac{1}{sin^2x}=1+cot^2x\ & bull sfrac{1}{cos^2x}=1+tan^2x\ &smalltext{2. Công thức cộng:}\ & bull sin(apm b)=sina.cosbpm sinb.cosa\ & bull cos(apm b)=cosa.cosbmp sina.cosb\ & bull tan(apm b)=frac{tana pm tanb}{1mp tana.tanb}\ &smalltext{3. Công thức nhân đôi:}\ & bull sin2a=2sina.cosa\ & bull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\ &smalltext{4. Công thức nhân ba:}\ & bull sin3a=3sina-4sin^3a\ & bull cos3a=4cos^3a-3cosa\ &smalltext{5. Công thức hạ bậc:}\ & bull sin^2a=frac{1-cos2a}{2}\ & bull cos^2a=frac{1+cos2a}{2}\ &smalltext{6.Công thức biến đổi tích thành tổng:}\ & bull cosa.cosb=frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]\ & bull sina.sinb=frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\ & bull sina.cosb=frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]\ end{aligned}Bảng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản
Bảng công thức nguyên hàm lượng giác hàm số hợp
Bảng công thức nguyên hàm hàm số hợp u = u(x)
Bảng công thức nguyên hàm hàm số hợp u = ax + b
6 dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp và phương pháp giải
Các bài toán tìm nguyên hàm lượng giác rất đa dạng và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có cách biến đổi và hướng giải khác nhau. Vì vậy, TheTips đã tổng hợp 6 dạng toán thường gặp nhất và phương pháp giải của từng dạng để giúp các em nắm vững các bài toán dạng này.
Dạng 1
I=intfrac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}- Phương pháp giải:
begin{aligned} &text{Dùng đồng nhất thức:}\ &1=frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\ &text{Từ đó suy ra:}\ &I=frac{1}{sin(a-b)}intfrac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\ & =frac{1}{sin(a-b)}int left[ frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} right]dx\ & =frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C end{aligned}Lưu ý
Với các này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:
begin{aligned} &bull J=intfrac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\ &bull K=intfrac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} text{ bằng các dùng đồng nhất thức }1=frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\ end{aligned}- Ví dụ:
Tính nguyên hàm sau đây:
I=int frac{dx}{sinx.sinleft(x+frac{pi}{6}right)}- Bài giải:
begin{aligned} &text{Ta có:}\ &1=frac{sinfrac{pi}{6}}{sinfrac{pi}{6}}=frac{sinleft[left(x+frac{pi}{6}right)-xright]}{frac{1}{2}}=2left[sinleft(x+frac{pi}{6}right)cosx-cosleft(x+frac{pi}{6}right)sinx right]\ &text{Từ đó:}\ &I=2intfrac{left[sinleft(x+frac{pi}{6}right)cosx-cosleft(x+frac{pi}{6}right)sinx right]}{sinx.sinleft(x+frac{pi}{6}right)}dx\ & =2int left[frac{cosx}{sinx}-frac{cos left(x+frac{pi}{6}right)}{sin left(x+frac{pi}{6}right)} right]dx\ & =2intfrac{d(sinx)}{sinx}-2intfrac{dleft[sinleft(x+frac{pi}{6}right)right]}{sinleft(x+frac{pi}{6}right)}\ & =2lnleft|frac{sinx}{sinleft(x+frac{pi}{6}right)} right|+C end{aligned}Dạng 2
I=int tan(x+a)tan(x+b)dx
- Phương pháp giải:
begin{aligned} &text{Ta có:}\ & tan(x+a)tan(x+b)\ &=frac{sin(x+a)sin(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}\ &=frac{sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\ &=frac{cos(a-b)}{ cos(x+a)cos(x+b)}-1\ &text{Từ đó:}\ &I=cos(a-b)intfrac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\ &text{Đến đây, ta gặp bài toán tìm nguyên hàm lượng giác ở textbf{Dạng 1}.} end{aligned}Lưu ý
Với các này, ta có thể tính được các nguyên hàm:
begin{aligned} &bull J=int cot(x+a)cot(x+b)dx\ &bull K=int tan(x+a)tan(x+b)dx end{aligned}- Ví dụ:
Tính nguyên hàm sau đây:
K=int tanleft(x+frac{pi}{3}right)cotleft(x+frac{pi}{6}right)dx- Bài giải:
begin{aligned} &text{Ta có:}\ &tanleft(x+frac{pi}{3}right)cotleft(x+frac{pi}{6}right)\ &=frac{sinleft(x+frac{pi}{3}right)cosleft(x+frac{pi}{6}right)}{cosleft(x+frac{pi}{3}right)sinleft(x+frac{pi}{6}right)}\ &=frac{sinleft(x+frac{pi}{3}right)cosleft(x+frac{pi}{6}right)- cosleft(x+frac{pi}{3}right)sinleft(x+frac{pi}{6}right)}{cosleft(x+frac{pi}{3}right)sinleft(x+frac{pi}{6}right)}+1\ &=frac{sinleft[ left(x+frac{pi}{3}right)-left(x+frac{pi}{6}right) right]}{cosleft(x+frac{pi}{3}right)sinleft(x+frac{pi}{6}right)}+1\ &=frac{1}{2}.frac{1}{cosleft(x+frac{pi}{3}right)sinleft(x+frac{pi}{6}right)}+1\ &text{Từ đó:}\ &K=frac{1}{2}int frac{1}{cosleft(x+frac{pi}{3}right)sinleft(x+frac{pi}{6}right)}dx+int dx\ & =frac{1}{2}K_1+x+C\ &text{Đến đây, bằng cách tính ở dạng 1, ta tính được:}\ &K_1=int frac{1}{cosleft(x+frac{pi}{3}right)sinleft(x+frac{pi}{6}right)}dx=frac{2}{sqrt3}lnleft| frac{sinleft(x+frac{pi}{6}right)}{cosleft(x+frac{pi}{3}right)}right|+C\ &text{Suy ra:}\ &K=frac{sqrt3}{3}lnleft| frac{sinleft(x+frac{pi}{6}right)}{cosleft(x+frac{pi}{3}right)}right|+x+C end{aligned}Dạng 3
I=intfrac{dx}{asinx+bcosx}- Phương pháp giải:
begin{aligned} &text{Ta có:}\ &asinx+bcosx=sqrt{a^2+b^2} left( frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}sinx+frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}cosxright)\ &Rightarrow asinx+bcosx=sqrt{a^2+b^2}sin(x+alpha)\ &Rightarrow I=frac{1}{sqrt{a^2+b^2}}int frac{dx}{sin(x+alpha)}=frac{1}{sqrt{a^2+b^2}} ln left|tanfrac{x+alpha}{2} right|+C end{aligned}- Ví dụ:
Tính nguyên hàm sau:
I=intfrac{2dx}{sqrt3 sinx+cosx}- Bài giải:
begin{aligned} &I=intfrac{2dx}{sqrt3 sinx+cosx}=intfrac{dx}{frac{sqrt3}{2} sinx+frac{1}{2}cosx}=int frac{dx}{sinxcosfrac{pi}{6}+cosxsinfrac{pi}{6}}\ & =int frac{dx}{sinleft(x+frac{pi}{6} right)}=int frac{dleft(x+frac{pi}{6} right)}{sinleft(x+frac{pi}{6} right)}=lnleft| tanfrac{x+frac{pi}{6}}{2} right|+C=lnleft| tanleft(frac{x}{2}+frac{pi}{12} right) right|+C end{aligned}Dạng 4
I=intfrac{dx}{asinx+bcosx}- Phương pháp giải:
text{Đặt }tanfrac{x}{2}=t Rightarrow begin{cases}dx=frac{2dt}{1+t^2}\ sinx=frac{2t}{1+t^2}\ cosx=frac{1-t^2}{1+t^2}\ tanx=frac{2t}{1-t^2} end{cases}- Ví dụ:
Tính nguyên hàm sau đây:
K=intfrac{dx}{sinx+tanx}- Bài giải:
begin{aligned} &text{Đặt }tanfrac{x}{2}=t Rightarrow begin{cases}dx=frac{2dt}{1+t^2}\ sinx=frac{2t}{1+t^2}\ tanx=frac{2t}{1-t^2} end{cases}\ &text{Từ đó:}\ &K=int frac{frac{2t}{1+t^2}}{frac{2t}{1+t^2}+frac{2t}{1-t^2}}=frac{1}{2}int frac{1-t^2}{t}dt=frac{1}{2}intfrac{dt}{t}-frac{1}{2}int tdt\ & = frac{1}{2}ln|t|-frac{1}{4}t^2+C= frac{1}{2}lnleft|tanfrac{x}{2}right|-frac{1}{4}tan^2frac{x}{2}+C end{aligned}Dạng 5
I=intfrac{dx}{asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x}- Phương pháp giải:
begin{aligned} &I=intfrac{dx}{(atan^2x+btanx+c)cos^2x}\ &text{Đặt }tanx=tRightarrow frac{dx}{cos^2x}=dt\ &text{Suy ra: }I=int frac{dt}{at^2+bt+c} end{aligned}- Ví dụ:
Tính nguyên hàm dưới đây:
J=int frac{dx}{sin^2x-2sinxcosx-2cos^2x}- Bài giải:
begin{aligned} &text{Đặt }tanx=t Rightarrowfrac{dx}{cos^2x}=dt\ &Rightarrow J=intfrac{dt}{t^2-2t-2}=int frac{d(t-1)}{(t-1)^2-(sqrt3)^2}=frac{1}{2sqrt3}lnleft|frac{t-1-sqrt3}{t-1+sqrt3} right|+C\ & =frac{1}{2sqrt3}lnleft|frac{tanx-1-sqrt3}{tanx-1+sqrt3} right|+C end{aligned}Dạng 6
I=intfrac{a_1sinx+b_1cosx}{a_2sinx+b_2cosx}dx- Phương pháp giải:
begin{aligned} &text{Ta tìm A, B sao cho:}\ &a_1sinx+b_1cosx=A(a_2sinx+b_2cosx)+B(a_2cosx-b_2sinx) end{aligned}- Ví dụ:
Tính nguyên hàm sau:
I=intfrac{4sinx+3cosx}{sinx+2cosx}dx- Bài giải:
begin{aligned} &text{Ta tìm A, B sao cho:}\ &4sinx +3cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)\ &Rightarrow 4sinx+3cosx=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx Rightarrowbegin{cases} A-2B=4\ 2A+B=3end{cases} Leftrightarrowbegin{cases} A=2\B=-1end{cases} \ &text{Từ đó:}\ &I=intfrac{2(sinx+2cosx)-(cosx-2sinx)}{sinx+2cosx}dx\ & =2int dx-int frac{d(sinx+2cosx)}{sinx+2cosx}\ & =2x-ln|sinx+cos2x|+C end{aligned}Nguồn: Nguyên Hàm Lượng Giác – Marathon Education
Công Thức Nguyên Hàm Lượng Giác Và Các Dạng Toán Thường Gặp
Nguyên hàm lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình toán cấp 3. Các công thức nguyên hàm lượng giác có nhiều mức độ, từ hàm sơ cấp cho đến các công thức hàm hợp, theo đó là rất nhiều dạng bài tập khác nhau. TheTips sẽ tổng hợp các công […]
Đã cập nhật 22 tháng 2 năm 2022
Bởi TopOnMedia
Tags:
Marathon
