Lý Thuyết Hàm Số Lũy Thừa Toán 12 Định Nghĩa Và Cách Tính Đạo Hàm

\begin{aligned}
&a^n=a.a.a.....a \ \text{(n thừa số a)}\\
&\text{Với } a \not = 0 \text{ thì } a^0=1, \ a^{-n}=\frac{1}{a^n}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Cho một số thực dương a bất kỳ và r là một số hữu tỉ có dạng }r=\frac{m}{n}\\
&\footnotesize\text{Trong đó m là một số nguyên còn n là một số nguyên lớn hơn 1. Lúc này, }\\
&\footnotesize\text{lũy thừa của a với số mũ r và số }a^r
\footnotesize\text{ xác định bởi:}\\
&a^r=a^\frac{m}{n} =\sqrt[n]{a^m}\\
&\footnotesize\text{Đặc biệt: Khi }m=1\ \text{thì} \ a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&a^α.a^β=a^{α+β}\\
&\frac{a^α}{a^β}=a^{α-β}\\
&(a^α)^β=a^{αβ}\\
&(ab)^α=a^α.b^α\\
&\left( \frac{a}{b}\right)^α=\frac{a^α}{b^α}\\
& \text{Nếu }a>1\text{ thì } a^α>a^β \Leftrightarrow α>β\\
& \text{Nếu }aa^β \Leftrightarrow α

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Hàm số y}=x^\alpha \text{ có đạo hàm tại mọi }x\in(0;+\infin) \text{ và y'}=(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}.\\
&\footnotesize\text{Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì }\\
&\footnotesize\text{hàm số } y=u^\alpha(x) \text{ cũng có đạo hàm trên J là:}\\
&y'=[u^\alpha(x)]^{-1}=\alpha x^{\alpha-1}.(x).u'(x)
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\forall x \in \R, \ (x^n)'=nx^{n-1}\\
&\forall x \in J,\ [u^n(x)]'=nu^{n-1} \ (x) \ u'(x) \\
&\text{(nếu u=u(x) có đạo hàm trong khoảng J)}
\end{aligned}

\begin{aligned}
& \forall x \not=0, (x^n)'=nx^{n-1}\\
&\forall x \in J, [u^n(x)]'=nu^{n-1}.(x).u'(x)\\
&\text{(nếu u=u(x) } \not= 0 \text{ có đạo hàm trong khoảng J)}
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Hàm số }y=\sqrt[n]{x}\text{ có thể được xem như là dạng mở rộng của hàm số lũy thừa }\\
&\footnotesize y=x^\frac{1}{n} \text{ (tập xác định của }y=\sqrt[n]{x}\text{ chứa tập xác định của }y=x^\frac{1}{n} \text{ và trên tập}\\
&\footnotesize\text{xác định của }y=x^\frac{1}{n}\text{thì hai hàm số trùng nhau).}\\
&\footnotesize \text{Công thức tính đạo hàm căn thức:}\\
&\footnotesize y=\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n} \text{\ \ \ \ và\ \ \ \ } (x^\frac{1}{n})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\
&\footnotesize \Rightarrow (\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\\
&\footnotesize \Rightarrow (\sqrt[n]{u(x)})'=\frac{u'(x)}{n\sqrt[n]{u^{n-1}(x)}}\\
\end{aligned}