Cách Tính Đạo Hàm Hàm Số Mũ Và Bài Tập Áp Dụng

Đạo hàm hàm số mũ được xem là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Giải tích ở THPT. Trong các đề thi sẽ có nhiều dạng bài tập liên quan đến phần kiến thức này. Vì vậy, nhằm giúp các em ôn luyện cũng như ghi nhớ lâu hơn các lý thuyết cơ bản về đạo hàm hàm số mũ, TheTips sẽ chia sẻ một số trọng tâm kiến thức và các bài tập áp dụng trong bài viết sau. 

Lý thuyết về hàm số mũ

Để có thể vận dụng công thức tính toán linh hoạt, đầu tiên, các em phải nắm vững định nghĩa và tính chất hàm số mũ. Dưới đây là định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm số mũ mà các em cần ghi nhớ.

Định nghĩa hàm số mũ

Theo như SGK Toán 12, hàm số mũ được định nghĩa như sau:

Hàm số mũ là một hàm số có dạng y = a^x với điều kiện a > 0 và a ≠ 1.

Tính chất hàm số mũ

Một số tính chất quen thuộc của hàm số mũ y = a_x với điều kiện a > 0 và a ≠ 1:

• Tập xác định: D = R.
• Đạo hàm: y’= a^x.lna (với x ∈ R).
• Chiều biến thiên:
  • a > 1: Hàm số đồng biến.
  • 0
• Đường tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang.
• Đồ thị hàm số mũ y = a^x luôn nằm phía trên trục hoành, cắt trục tung tại một điểm (0;1) và đi qua điểm (1;a).

Lý thuyết tổng quát về đạo hàm

Để giải các bài toán đạo hàm hàm số mũ, các em cần phải hiểu rõ lý thuyết cơ bản về đạo hàm.

Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm x₀ có nghĩa là giới hạn (nếu có) giữa tỉ số số gia hàm số Δy = y – y₀ với số gia của đối số tại Δx = x – x₀ khi số gia của đối số tiến đến 0.

f'(x_0)=limlimits_{x to x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}  hay  y'(x_0)=limlimits_{Δx to 0}frac{Δy}{Δx}

Trong đó, f'(x₀) và y'(x₀) là ký hiệu của đạo hàm hàm số  y=f(x) tại một điểm x0.

Lưu ý rằng, giá trị của đạo hàm hàm số tại một điểm thể hiện chiều biến thiên và độ lớn biến thiên của hàm số.

Các định lý đạo hàm áp dụng trong đạo hàm hàm số mũ

Để giải được các dạng bài toán đạo hàm hàm số mũ, các em cần thuộc lòng những định lý sau đây:

• Định lý 1: Đối với hàm số y=xⁿ với điều kiện n ∈ N và n>1 sẽ có đạo hàm với mọi x ∈ R và y’=(xⁿ)’=n.x^n-1.
• Định lý 2: Giả sử u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có những tính chất sau:

begin{aligned}
&circ (u + v)' = u' + v'\
&circ (u - v)' = u' - v'\
&circ (uv)' = u'v + uv'\
&circ left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2} với v=v(x)not=0
end{aligned}

Từ đó, ta được hai hệ quả:

begin{aligned}
&circtext{Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số nhất định thì }(ku)'=ku'.\
&circ left(frac{1}{v}right)' = frac{v'}{v^2} với v=v(x)not=0
end{aligned}

Lý thuyết và công thức đạo hàm mũ

Lý thuyết và công thức đạo hàm hàm số mũ trong chương trình Giải tích lớp 12 sẽ được trình bày cụ thể như sau:

Lý thuyết đạo hàm mũ

Về tổng quát, lý thuyết của đạo hàm hàm số mũ chỉ gồm một số ý chính quan trọng cần phải nhớ, đó là:

• Cho một hàm số y = a^x thì ta có, đạo hàm của hàm số này sẽ được viết dưới dạng y’ = a^xlna.
• Ở trường hợp y = a^u(x) thì đạo hàm của hàm số sẽ là: y’ = u'(x)a^u(x)lna.

Công thức đạo hàm mũ

Từ lý thuyết của đạo hàm hàm số mũ, ta sẽ suy ra được một số công thức tính đạo hàm hàm số mũ như sau:

begin{aligned}
&(a^x)'=a^x.lna ⇒ (a^u)'=u'.a^u.lna\
&(e^x)'=e^x ⇒ (e^u)'=e^u.u'\
&(sqrt[n]u)'=frac{u'}{n.sqrt[n]{u^{n-1}}}\
end{aligned}

Các bài tập áp dụng đạo hàm hàm số mũ

Để có thể nhớ tốt các công thức đạo hàm hàm số mũ nêu trên, các em hãy theo dõi một số ví dụ cụ thể dưới đây:

begin{aligned}
bull   y&=(x^2+1).2^{2x}\
y'&=(x^2+1)'.2^{2x}+(x^2+1).(2^{2x})'\
&=2x.2^{2x}+(x^2+1).(2x)'.2^{2x}.ln2\
&=2x.2^{2x}+(x^2+1).2.2^{2x}.ln2\
bull   y&=frac{e^{2x}-e^{-2x}}{x}\
y'&=frac{(e^{2x}-e^{-2x})'.x-(e^{2x}-e^{-2x}).x'}{x^2}\
&=frac{[(e^{2x})'-(e^{-2x})'].x-(e^{2x}-e^{-2x}).1}{x^2}\
&=frac{[2e^{2x}-(-2)e^{-2x}].x-(e^{2x}-e^{-2x})}{x^2}\
&=frac{(2e^{2x}+2e^{-2x}).x-(e^{2x}-e^{-2x})}{x^2}\
bull   y&=2^{1-2x}\
y'&=(1-2x)'=-2\
bull   y&=e^{2x+x^2}\
y'&=(2x+x^2)'.e^{2x+x^2}=(2+2x).e^{2x+x^2}
end{aligned}

Nguồn: Đạo Hàm Hàm Số Mũ – Marathon Education