-
Đạo hàm hàm hợp luôn là một trong những phần kiến thức về đạo hàm khiến nhiều học sinh cảm thấy “lạc lối” trong quá trình học tập. Trên thực tế, dạng bài tập liên quan đến phần lý thuyết này lại xuất hiện khá nhiều trong những đề kiểm tra toán 12 và thi đại học. Vì thế, để giúp các em thuộc nằm lòng các công thức đạo hàm hàm hợp và các dạng bài tập thường gặp, TheTips sẽ chia sẻ một số thông tin hữu qua bài viết bên dưới đây.
Quy tắc tính đạo hàm
Đầu tiên, các em cần phải nắm thật vững những quy tắc tính đạo hàm. Cụ thể, công thức và phép toán sẽ được viết chi tiết như sau:
Công thức
begin{aligned} &bulltext{ Nếu c là một hằng số thì } (c)'=0.\ &bulltext{ Với }ninN^*text{ và }xin R text{ thì } (x)'=nx^{n-1}.\ &bull (sqrt x)'=frac{1}{2sqrt x} (x>0). end{aligned}Phép toán
begin{aligned} &bull (u+v)'=u'+v'\ &bull (u-v)'=u'-v'\ &bull (uv)'=u'v+uv'\ &bull (ku)'=ku' text{ với k là hằng số}\ &bull left(frac{1}{u}right)'=frac{-u'}{u^2}text{ (điều kiện }u=u(x) not =0)\ &bull left(frac{u}{v}right)'=frac{u'v-uv'}{v^2} text{ (điều kiện }v=v(x) not =0)\ end{aligned}Công thức tính đạo hàm cơ bản
Dưới đây là một số công thức tính đạo hàm cơ bản mà các em cần biết để áp dụng cho các dạng bài tập đạo hàm nâng cao:
begin{aligned} &bull (x^alpha)'=alpha x^{alpha-1}, alpha in R\ &bull (sqrt x)'=frac{1}{2sqrt x}\ &bull left(frac{1}{x}right)'=frac{-1}{x^2}\ &bull (sqrt[n] x)'=frac{1}{nsqrt[n]{x^{n-1}}}, nin N và n>1\ &bull (sinx)'=cosx\ &bull (cosx)'=-sinx\ &bull (tanx)'=1+tan^2x=frac{1}{cos^2x}\ &bull (cotx)'=-(1+cot^2x)=-frac{1}{sin^2x}\ end{aligned}Công thức tính đạo hàm hàm hợp
Đối với các hàm hợp, công thức tính đạo hàm sẽ có sự khác biệt. Cụ thể, từ dạng tổng quát y'(x)=y'(u).u'(x) ta sẽ suy ra được một số hệ quả như sau:
begin{aligned} &bull (u^alpha)'=alpha.u^{alpha-1}.u', alpha in R\ &bull (sqrt u)'=frac{u'}{2sqrt u}\ &bull left(frac{1}{u}right)'=frac{-u'}{u^2}\ end{aligned}Bài tập minh họa cho đạo hàm hàm hợp
Dạng 1: Tính đạo hàm hàm hợp cơ bản
begin{aligned} bull &y=(x^7+x)^2 \ &y’ = [(x^7+x)^2]'=2.(x^7+x).(x^7+x)'=2.(x^7+x).(7x^6+1) end{aligned}begin{aligned} bull y&=2x.(2x^3+3x-2)^2\ y'&=[2x.(2x^3+3x-2)^2]'\ &=(2x)'.(2x^3+3x-2)^2+(2x).[(2x^3+3x-2)^2]'\ &= 2(2x^3+3x-2)^2+(2x).2.(2x^3+3x-2)(2x^3+3x-2)'\ &= 2(2x^3+3x-2)^2+4x.(2x^3+3x-2)(6x^2+3) end{aligned}Dạng 2: Tính đạo hàm hàm hợp phân thức
begin{aligned} bull y&=frac{1}{sqrt{5x}}\ y'&=left(frac{1}{sqrt{5x}}right)'=frac{-1}{5x}.left(sqrt{5x}right)'=frac{-1}{5x}.frac{(5x)'}{2sqrt{5x}}=frac{-5}{10xsqrt{5x}}=frac{-1}{2xsqrt{5x}}\ bull y&=frac{(x^2-3)^2}{2x^2+4x}\ y'&=left[frac{(x^2-3)^2}{2x^2+4x}right]'\ &=frac{[(x^2-3)^2]'(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(2x^2+4x)'}{(2x^2+4x)^2}\ &=frac{2(x^2-3)(x^2-3)'(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(4x+4)}{(2x^2+4x)^2}\ &=frac{4x(x^2-3)(2x^2+4x)-(x^2-3)^2(4x+4)}{(2x^2+4x)^2} end{aligned}Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp chứa căn
begin{aligned} bull &y=sqrt{x^4+2x^2}\ &y'=left(sqrt{x^4+2x^2}right)'=frac{(x^4+2x^2)'}{2sqrt{x^4+2x^2}}=frac{4x^3+4x}{2sqrt{x^4+2x^2}}=frac{2x^3+2x}{sqrt{x^4+2x^2}}\ bull &y=sqrt{(2x^2+5)^3}\ &y'=left[sqrt{(2x^2+5)^3}right]'=frac{[(2x^2+5)^3]'}{2sqrt{(2x^2+5)^3}}=frac{3(2x^2+5)^2(2x^2+5)'}{2sqrt{(2x^2+5)^3}}=frac{12x(2x^2+5)^2}{2sqrt{(2x^2+5)^3}}\ & =frac{6x(2x^2+5)^2}{sqrt{(2x^2+5)^3}} end{aligned}Nguồn: Đạo Hàm Hàm Hợp – Marathon Education
Công Thức Đạo Hàm Hàm Hợp Và Bài Tập Ứng Dụng
Đạo hàm hàm hợp luôn là một trong những phần kiến thức về đạo hàm khiến nhiều học sinh cảm thấy “lạc lối” trong quá trình học tập. Trên thực tế, dạng bài tập liên quan đến phần lý thuyết này lại xuất hiện khá nhiều trong những đề kiểm tra toán 12 và thi […]
Đã cập nhật 23 tháng 2 năm 2022
Bởi TopOnMedia
Tags:
Marathon
