Công Thức Tính Đạo Hàm Căn Bậc 3 Và Một Số Ví Dụ Minh Họa

begin{aligned}
&small text{Lấy một hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), với }x_0 in (a;b). text{Ta có giới hạn hữu tỉ (nếu }\
&smalltext{tồn tại) của tỉ số }frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} text{ khi } xto x_0 text{ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho trước tại }x_0.\
&small text{Kí hiệu đạo hàm là }f’(x_0) text{ hay } y’(x_0).\
&smalltext{Theo đó, ta sẽ có } f'(x_0)=limlimits_{x to x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. text{ Nếu ta đặt } x-x_0=Delta x text{ và } f(x_0+Delta x)-f(x_0) =Delta y\
&small  text{thì ta sẽ thu được }f'(x_0)=limlimits_{Delta x to 0}frac{Delta y}{Delta x}. text{ Trong đó: }\
&small    bull text{x: số gia của đối số tại }x_0\
&small    bull text{y: số gia tương ứng của hàm số đã cho.}
end{aligned}

(sqrt{x})'=frac{1}{2sqrt{x}}     text{và}     (sqrt{u})'=frac{u'}{2sqrt{u}} text{ với hàm u là hàm hợp}

begin{aligned}
&bull sqrt[n]{u}=u^{frac{1}{n}}\
&bull sqrt[n]{u^m}=u^{frac{m}{n}}\
&bull (u^alpha)'=alpha.u^{alpha - 1}.u'\
&bull left(frac{1}{u}right)'=-frac{u'}{u^2}
end{aligned}

begin{aligned}
bull &y=sqrt{2x}\
&y'=left(sqrt{2x}right)'=frac{(2x)'}{2sqrt{2x}}=frac{2}{2sqrt{2x}}=frac{1}{sqrt{2x}}\
bull &y=sqrt{2x+1}\
&y'=left(sqrt{2x+1}right)'=frac{(2x+1)'}{2sqrt{2x+1}}=frac{2}{2sqrt{2x+1}}=frac{1}{sqrt{2x+1}}\
bull &y=sqrt{2x^2+1}\
&y'=left(sqrt{2x^2+1}right)'=frac{(2x^2+1)'}{2sqrt{2x^2+1}}=frac{4x}{2sqrt{2x^2+1}}=frac{2x}{sqrt{2x^2+1}}\
bull &y=frac{1}{sqrt{2x+1}}\
&y'=left(frac{1}{sqrt{2x+1}}right)'=-frac{left(sqrt{2x+1} right)'}{sqrt{(2x+1)^2}}=-frac{(2x+1)'}{2sqrt{2x+1}}.frac{1}{sqrt{(2x+1)^2}}\
&   =-frac{2}{2sqrt{2x+1}}.frac{1}{sqrt{(2x+1)^2}}=-frac{1}{sqrt{2x+1}}.frac{1}{sqrt{(2x+1)^2}}\
bull &y=sqrt{x+sqrt{x}}   (x>0)\ 
&y'=left(sqrt{x+sqrt{x}}right)'=frac{(x+sqrt{x})'}{2sqrt{x+sqrt{x}}}=frac{1+frac{1}{2sqrt{x}}}{2sqrt{x+sqrt{x}}}=frac{2sqrt{x}+1}{4sqrt{x}sqrt{x+sqrt{x}}}=frac{2sqrt{x}+1}{4sqrt{x^2+xsqrt{x}}}\
bull &y=sinsqrt{x+1}\
&y'=left(sinsqrt{x+1}right)'=(sqrt{x+1})'.cossqrt{x+1}=frac{(x+1)'}{2sqrt{x+1}}.cossqrt{x+1}=frac{cossqrt{x+1}}{2sqrt{x+1}}\
bull &y=sqrt[5]{2x+3}=(2x+3)^{frac{1}{5}}\
&y'=left[(2x+3)^{frac{1}{5}} right]'=frac{1}{5}(2x+3)^{frac{-4}{5}}(2x+3)'=frac{2}{5}.frac{1}{(2x+3)^{frac{4}{5}}}=frac{2}{5}.frac{1}{sqrt[5]{(2x+3)^4}}\
bull &y=sqrt[5]{(2x^2+1)^3}=(2x^2+1)^frac{3}{5}\
&y'=left[(2x^2+1)^frac{3}{5} right]'=frac{3}{5}(2x^2+1)^{frac{-2}{5}}(2x^2+1)'=frac{3}{5}.4x.frac{1}{(2x^2+1)^{frac{2}{5}}}=frac{12}{5}x.frac{1}{sqrt[5]{(2x^2+1)^2}}\
end{aligned}

begin{aligned}
&bull  text{Lũy thừa với số mũ nguyên dương } ainR: a_n=a.a.a...a text{ (n thừa số a)}.\
&bull  text{Lũy thừa với số mũ nguyên âm } anot= 0: a^{-n}=frac{1}{a^n} text{ và } a^0=1.\
&bull  text{Lũy thừa với số mũ hữu tỉ }a>0: a^frac{m}{n}=sqrt[n]{a^m} (m,nin Z, ngeq 2).
end{aligned}

begin{aligned}
sqrt[3]u &=u^frac{1}{3}\
Rightarrow(u^frac{1}{3})'&=frac{1}{3}.u'.u^{frac{1}{3}-1}=frac{1}{3}.u'.u^frac{-2}{3}=frac{1}{3}.u'.frac{1}{u^frac{2}{3}}\
&=frac{1}{3}.u'.frac{1}{sqrt[3]{u^2}}
end{aligned}

begin{aligned}
bull &y=sqrt[3]{x^2}=x^frac{2}{3}\
&y'=left(x^frac{2}{3}right)' =frac{2}{3}.x^{frac{2}{3}-1}=frac{2}{3}.x^frac{-1}{3}=frac{2}{3}.frac{1}{sqrt[3]x}\
bull &y=sqrt[3]{x^2+1}=(x^2+1)^frac{1}{3}\
&y'=left[(x^2+1)^frac{1}{3}right]'=frac{1}{3}(x^2+1)'(x^2+1)^{frac{1}{3}-1}=frac{1}{3}.2x.(x^2+1)^{frac{-2}{3}}=frac{2x}{3sqrt[3]{(x^2+1)^2}}\
end{aligned}