Công thức và bài tập vận dụng tích phân từng phần

Tích phân hay tích phân từng phần đều là những nội dung luôn xuất hiện trong các đề thi THPT, Đại học. Nếu ghi nhớ công thức và biết cách vận dụng, chắc chắn các em sẽ dễ dàng đạt điểm cao trong phần này. Hãy theo dõi bài viết sau đây để hệ thống hóa lại các kiến thức về tích phân từng phần nhé!

Khái quát về tích phân từng phần

Tích phân từng phần được hiểu là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. 

Nếu ta có: u = u(x) và du = u′(x)dx, trong đó v = v(x) và dv = v′(x) dx thì tích phân từng phần được viết dưới dạng:

Công thức tích phân từng phần

Dưới đây là các công thức tính tích phân từng phần mà các em cần nắm vững

Với công thức có sẵn như trên, các em có thể áp dụng theo các bước sau để giải bài tập

Bước 1: Biến đổi tích phân đã cho về dạng

Bước 2: Đặt

(Trong đó v là nguyên hàm của g(x)).

Bước 3: Khi đó ta có:

Lưu ý: trong quá trình giải, bài tập tính phân từng phần, các em cần đặt u theo thứ tự ưu tiên để dễ dàng tính toán: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ. Cụ thể, nếu đề bài có ln hay log ax thì chọn u=ln hay u=lnx/lna và dv= phần còn lại. Nếu không xuất hiện ln; log thì chọn u= đa thức và dv= phần còn lại. Nếu không có log; đa thức thì chọn u= lượng giác,… và cuối cùng là mũ.

Ví dụ:

Các dạng toán thường gặp và bài tập vận dụng

Gọi P(x) là đa thức. Ta có các dạng toán với công thức tính như dưới đây

Một số lưu ý: 

– Bậc của đa thức và bậc của ln là số lần tích phân từng phần.

– Dạng mũ nhân lượng giác chính là dạng tích phân từng phần luân hồi.

Dưới đây là một số bài tập vận dụng các em có thể tham khảo

Như vậy, bài viết này đã hệ thống hóa các công thức, dạng bài tập về tích phân từng phần. Dạng toán này không khó và nếu các em chú ý ôn lý thuyết kết hợp giải bài hằng ngày thì sẽ dễ dàng đạt được điểm cao trong phần này. Chúc các em ôn tập tốt để có một kỳ thi thành công.

Nguồn tham khảo: vnhoctap.com