Bất Đẳng Thức Tam Giác Là Gì? Quan Hệ Giữa Các Yếu Tố Trong Tam Giác

Tam giác là một trong những hình học phổ biến và được dùng nhiều khi làm bài tập. Trong đó, bất đẳng thức tam giác là lý thuyết quan trọng giúp các em giải được các dạng bài tập liên quan đến hình này. Vậy bất đẳng thức tam giác là gì, các yếu tố trong tam giác có quan hệ như thế nào? Hãy cùng TheTips tìm hiểu qua bài viết sau đây.

Bất đẳng thức tam giác là gì?

Định lý bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác bất kỳ, tổng độ dài hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Ví dụ: Trong tam giác ABC với 3 cạnh lần lượt là AB, AC và BC ta có:

• AB + AC > BC
• AB + BC > AC
• AC + BC > AB

Hệ quả của bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác bất kỳ, hiệu độ dài hai cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Ví dụ: Trong tam giác ABC, ta có: |AB − AC|

Chứng minh bất đẳng thức tam giác

1. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: AB + AC > BC

Bài giải:

Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC)

=> AB > HB (AB là cạnh huyền trong tam giác vuông ABH)

AC > HC (AC là cạnh huyền trong tam giác vuông ACH)

Do đó: AB + AC > HB + HC

⇔ AB + AC > BC

Chứng minh tương tự với cạnh AC, AB ta có AB + BC > AC và AC + BC > AB.

2. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: AB > BC – AC

Ta có: AB + AC > BC (định lý bất đẳng thức tam giác)

=> AB > BC – AC

Chứng minh tương tự, ta có: AC > AB – BC

BC > AB – AC

AB > AC – BC

AC > BC – AB 

BC > AC – AB

Vậy, trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diệ

Định lý 1: Trong một tam giác bất kỳ, khi góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. 

triangle ABC,  AC>AB Rightarrow widehat{B}>widehat{C}

Định lý 2: Trong một tam giác bất kỳ, khi cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

triangle ABC,  widehat{B}>widehat{C}Rightarrow  AC>AB 

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lý: Trong các đường xiên và đường vuông góc được kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng

Định lý: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó nếu:

• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn là đường xiên lớn hơn
• Đường xiên nào lớn hơn là đường xiên có hình chiếu lớn hơn
• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì có hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

Nguồn: Bất Đẳng Thức Tam Giác – Marathon Education