-
Bất đẳng thức bunhiacopxki là một trong những nhánh quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Nội dung này thường được sử dụng nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức nâng cao. Cùng TheTips tìm hiểu và khám phá những kiến thức liên quan đến bất đẳng thức bunhiacopxki qua bài viết dưới đây.
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì? (Nguồn: Internet) Công thức bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:
begin{aligned} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)geq(ac+bd)^2\ &text{Dấu "=” xảy ra khi }ac = bd end{aligned}Bất đẳng thức Bunhiacopxki đối với 2 bộ số:
Với hai bộ số (a1, a2,…,an) và (b1, b2,…,bn), ta có:
begin{aligned} &(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2).(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2\ &text{Dấu “=” xảy ra khi } frac{a_1}{b_1} = frac{a_2}{b_2} =... = frac{a_n}{b_n}\ end{aligned}Nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3,…, n) bằng 0 thì đẳng thức tương ứng bằng 0.
Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki
Một số hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki mà các em có thể tham khảo như:
Hệ quả 1
smalltext{Nếu }a_1x_1 +... + a_nx_n = C text{ thì } min(x_1^2+...+x_n^2)=frac{C}{a_1^2+...+a_n^2} text{đạt được khi }frac{x_1}{a_1} =... = frac{x_n}{a_n}Hệ quả 2
Nếu x12 +…+ xn2 = C2 (không đổi) thì:
begin{aligned} &small bull Max(a_1x_1+...+a_nx_n)=C.sqrt{a_1^2+...+a_n^2} text{ đạt được khi } a_1x_1 =... = a_nx_ngeq0.\ &small bull Min(a_1x_1+...+a_nx_n)=-C.sqrt{a_1^2+...+a_n^2} text{ và dấu "=" xảy ra khi } a_1x_1 =... = a_nx_nleq0.\ end{aligned}Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki
Các em có thể chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau:
Ta có:
begin{aligned} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)geq(ac+bd)^2\ &Leftrightarrow(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2\ &Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 ≥ 2abcd\ &Leftrightarrow (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 ≥0\ &Leftrightarrow (ad - bc)^2 ≥ 0text{ (luôn đúng)} end{aligned}Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Cho các số a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
sqrt{frac{a + b}{a + b + c}}+sqrt{frac{b + c}{a + b + c}}+sqrt{frac{c + a}{a + b + c}}leq6Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho phân thức, ta có:
begin{aligned} &footnotesize sqrt{frac{a + b}{a + b + c}}+sqrt{frac{b + c}{a + b + c}}+sqrt{frac{c + a}{a + b + c}}\ &footnotesize Leftrightarrow 1.sqrt{frac{a + b}{a + b + c}}+1.sqrt{frac{b + c}{a + b + c}}+1.sqrt{frac{c + a}{a + b + c}}leqsqrt{(1+1+1)left(frac{a + b}{a + b + c}+frac{b + c}{a + b + c}+frac{c + a}{a + b + c}right)}\ &footnotesize Leftrightarrow sqrt{frac{a + b}{a + b + c}}+sqrt{frac{b + c}{a + b + c}}+sqrt{frac{c + a}{a + b + c}}leq sqrt{3.left[frac{2(a + b+c)}{a + b + c}right]}\ &footnotesize Leftrightarrow sqrt{frac{a + b}{a + b + c}}+sqrt{frac{b + c}{a + b + c}}+sqrt{frac{c + a}{a + b + c}}leq sqrt{3.2}=sqrt6 text{ (điều phải chứng minh)}\ &footnotesizetext{Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các giá trị a = b = c} end{aligned}\Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất (max) của biểu thức sau:
P=sqrt{x-2}+sqrt{4-x}Hướng dẫn:
begin{aligned} &footnotesize P=sqrt{x-2}+sqrt{4-x}\ &footnotesize text{Điều kiện: }2 ≤ x ≤ 4\ &footnotesize text{Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có:}\ &footnotesize (1.sqrt{x -2} + 1.sqrt{4 -x})^2 ≤ (1^2 + 1^2).(x - 2 + 4 - x) = 2^2 = 4\ &footnotesize⟹ P^2 ≤ 4\ &footnotesize ⟺ -2 ≤ P ≤ 2\ &footnotesize text{P đạt giá trị lớn nhất khi }P = 2 ⟺ frac{1}{sqrt{x -2}} = frac{1}{sqrt{4 -x}} ⟺ x - 2 = 4 - x ⟺ x = 3 (TMĐK)\ &footnotesize text{Vậy }P_{max} = 2 ⟺ x = 3 end{aligned}Bài tập 3: Cho các số a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
frac{a^2}{b+c}+frac{b^2}{c+a}+frac{c^2}{a+b}geq frac{a+b+c}{2}Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki.
Ta được:
begin{aligned} &frac{a^2}{b+c}+frac{b^2}{c+a}+frac{c^2}{a+b}geqfrac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=frac{a+b+c}{2}\ &text{Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các số a = b = c} end{aligned}Nguồn: Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki – Marathon Education
Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Là Gì? Công Thức Và Cách Chứng Minh
Bất đẳng thức bunhiacopxki là một trong những nhánh quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Nội dung này thường được sử dụng nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức nâng cao. Cùng TheTips tìm hiểu và khám phá những kiến thức liên quan đến bất đẳng thức bunhiacopxki qua bài viết […]
Đã cập nhật 23 tháng 2 năm 2022
Bởi TopOnMedia
Tags:
Marathon
