Lý Thuyết Bất Đẳng Thức Đại Số Lớp 10

Bất đẳng thức có thể được coi là một kiến thức nền rất quan trọng, có liên quan hầu hết đến các dạng bài tập toán không chỉ ở lớp 10 mà cả chương trình toán cấp trung học phổ thông. Bài viết dưới đây từ TheTips đã tổng hợp và chia sẻ đến các em một số thông tin về tính khái niệm cũng như tính chất của bất đẳng thức.

Khái niệm bất đẳng thức

Cụm từ bất đẳng thức được định nghĩa là một mệnh đề xác định ở một trong các dạng sau đây: A > B, A

Biểu thức A sẽ được gọi là vế trái của bất đẳng thức, và ngược lại, biểu thức B sẽ là vế phải của bất đẳng thức.

Từ định nghĩa, ta sẽ có một số hệ quả như sau:

• Trong trường hợp mệnh đề “A C
• Còn nếu “A C bất đẳng thức A

Các tính chất của bất đẳng thức 

Dưới đây là một số các tính chất thường gặp của bất đẳng thức:

Tính chất bắc cầu

Đầu tiên, bất đẳng thức có tính chất bắc cầu. Cụ thể, nếu ta có cùng lúc 2 biểu thức A

Tính chất cộng 2 vế của bất đẳng thức với 1 số

Tính chất cộng 2 vế của BĐT với 1 số khá đơn giản. Các em chỉ cần nhớ như sau: 

A

Tính chất cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều

Nếu dữ kiện cho 2 BĐT cùng chiều A

Tính chất nhân 2 vế của bất đẳng thức với 1 số

Nếu đề bài cho A 0 thì ta sẽ được AC BC.

Tính chất nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều

Nếu dữ kiện cung cấp 0

Tính chất nâng 2 vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa

Khi A, B > 0, với n ∈ N∗ thì ta sẽ có:

A 

Tính chất khai căn 2 vế của bất đẳng thức

Khi A, B > 0, với n ∈ N∗ thì ta sẽ có:

A 

Bất đẳng thức Côsi

Bất đẳng thức Côsi còn được gọi với cái tên khác là BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Cụ thể:

begin{aligned} &footnotesizebullettext{Ta đặt } frac{a+b}{2}  text{là trung bình cộng của 2 số a, b. Theo đó, các em sẽ có tổng quát}\ &footnotesizetext{trung bình cộng của n số } a_1, a_2,...a_n  text{sẽ là } frac{a_1 + a_2 +...+ a_n​}{n}.\ &footnotesizebullettext{Trung bình nhân của 2 số không âm a ≥ 0, b ≥ 0 sẽ là } sqrt{ab}. text{ Vậy, trung bình nhân}\ &footnotesizetext{của n số không âm } a_1 ≥0, a_2≥0,..., a_n≥0 text{ sẽ là } sqrt[n]{a_1a_2...a_n}. end{aligned}​

Định lý:

sqrt{ab}≤ frac{a+b}{2}   (∀ a, b ≥ 0)

Dấu “=” chỉ xảy ra khi giá trị a = b. 

Theo đó, ta cũng có:

sqrt[3]{abc}≤ frac{a+b+c}{3}   (∀ a, b ≥ 0)\
sqrt[n]{a_1a_2...a_n}≤ frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}   (∀ a_1,a_2,...a_n ≥ 0)

Một số hệ quả của BĐT Cosi:

• Hệ quả 1: Khi hai số dương bất kỳ có tổng không đổi thì tích của chúng sẽ lớn nhất nếu giá trị hai số đó bằng nhau.
• Hệ số 2: Trong trường hợp hai số dương xác định có tích không đổi thì tổng của chúng sẽ nhỏ nhất khi giá trị hai số này bằng nhau. 

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Một số bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dưới đây có thể được áp dụng để giải các dạng toán nâng cao:

scriptsize{|a| - |b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|, ∀ a, b ∈ R.  Dấu “=” chỉ xảy ra khi ab ≥ 0} \
x| ≤ a Leftrightarrow -a ≤ x ≤ a   (∀a > 0)\
scriptsize{|x|geq aLeftrightarrow |x|geq a  hoặc |x| leq -a   (∀ a > 0)}

Nguồn: Bất Đẳng Thức – Marathon Education